• Наши разработки
• Наши проекты
• Важные события
• Информация с выставок
• Что о нас пишут

Оценка рыночного риска: новый подход к определению VAR. Статья в журнале «Валютный Спекулянт», №12(74) декабрь 2005.

Оценка рыночного риска: новый подход к определению VAR.

Евгений Обжиров. Аналитик-консультант отдела программных разработок центра информационно-финансовых технологий «И-Сток».

«Валютный Спекулянт», №12(74) декабрь 2005.

История вопроса.

Большую роль в этом сыграли Базельский комитет по надзору за банками и финансовая компания J.P. Morgan, которая первой в 1994 году раскрыла свою систему управления рисками – RiskMetrics, справедливо получившую широкое признание и распространение.

Во многом благодаря усилиям этих заслуженных учреждений, основной мерой рыночного риска в настоящее время стал показатель VAR (Value At Risk) – предельная величина убытков по заданному портфелю активов, превышение которой на выбранном горизонте времени не может произойти с определенной вероятностью, которую также называют доверительным уровнем. Как правило, доверительный интервал выбирают в диапазоне 95-99%. Впервые использование технологии VAR было рекомендовано The Global Derivatives Study Group (G30) в 1993 году в исследовании «Derivatives: Practice and Principles”, после чего Европейский Совет в директиве “EEC 6-93” предписал определять резервирование капитала для покрытия рыночных рисков с использованием технологии VAR. После этого в 1994 году The Bank of International Settlements рекомендовал банкам раскрывать VAR по своим позициям. В 1995 году Базельский комитет одобрил технологию и предложил банкам использовать ее для расчета резервов капитала, а в 1996 году его поддержал Федеральный Резервный Банк США.

Прозрачность и относительная простота вычисления VAR, в свою очередь, во многом обусловлена возможностью использования семейства так называемых параметрических методов: «дельта-нормального» метода, разработанного и реализованного в RiskMetrics, и многочисленных последующих модификаций. В основе этих методов лежит предположение о том, что доходность свободно торгуемого актива имеет логнормальное распределение вероятностей. Однако это не совсем так. В частности, всем известен эффект «тяжелых хвостов» реальных плотностей распределения. Тем не менее, считается, что базисную гипотезу о «логнормальности» функции распределения всегда можно технично «подправить» с достаточной степенью точности.

Однако в некоторых случаях это принципиально не так - функция распределения является совершенно другой, а именно: в настоящей статье приводятся конкретные примеры того, что функция распределения доходности рыночного актива с очень высокой степенью достоверности распределена по показательному закону распределения.

Теория.

Итак, немного математики – без нее обойтись невозможно. По определению:

VAR = F_А,T^-1(1-a) (1)

где F_А,T(DV) – функция распределения вероятностей доходности DV портфеля A на горизонте времени Т: DV=V(t+T)-V(t), где V(t) – стоимость портфеля в произвольный момент времени t, а F^-1 - обратная к ней функция, a - доверительный интервал. В «дельта-нормальном» методе делается предположение о нормальном (гауссовском) распределении случайной величины X = log(V(t+T)/V(t)), которую можно интерпретировать как доходность при непрерывном начислении процентов. В этом случае реальная доходность портфеля DV на интервале времени от t до t+T с высокой точностью равна XV(t) (при соблюдении условия DV/V много меньше 1). В случае, если «средним» значением распределения можно пренебречь, VAR(T) = –V(t)k_1-as_T, где k_1-a - (1-a)% квантиль стандартного нормального распределения, s_T – среднее квадратическое отклонение нормального распределения Х(Т).

В цели настоящей работы не входит критика данного метода. В качестве альтернативной параметризации распределения доходности предлагается использовать следующую случайную величину Y(T) (назовем ее модифицированной относительной доходностью):

(2)

Функция min (минимум) используется для того, чтобы сделать распределение Y симметричным и несмещенным при симметричном и несмещенном распределении DV. Например, рассмотрим неслучайный процесс, в котором стоимость актива поочередно имеет стоимость V₁ и V₂. Математическое ожидание прибыли/убытка такого процесса M(DV) равно 0. Однако М(DV/V) = -1/2(V₁-V₂)²/V₁V₂ - всегда меньше нуля, т.е. является смещенным в отрицательную сторону. Как нетрудно убедиться, величина Y (1) лишена этого недостатка.

Как будет показано ниже, в некоторых случаях величина Y оказывается распределенной по показательному закону распределения со следующими плотностью распределения f(y) и функцией распределения вероятностей F(y):

(3)

(4)

где l - параметр распределения. В этом случае математическое ожидание M(Y) = 0, а среднее квадратическое отклонение s(Y) = l^-1. Несомненным преимуществом распределения (3)-(4) является то, что оно определяется одним параметром l, что значительно упрощает его оценку по имеющимся историческим данным. Кроме того, данное распределение очень «удобно» для вычисления VAR, т.к. позволяет получить для него прямую аналитическую формулу. Для этого необходимо заметить, что величина относительной прибыли/убытка DV/V(t) (обозначим ее через x – именно эта величина интересует инвестора) в случае убытков следующим образом зависит от Y: x = Y/(1-Y) и наоборот Y=x/(1+x), тогда из формул (1) и (4) легко получаем:

(5)

Необходимо заметить, что, поскольку a для отрицательной «убыточной» половины распределения (3)-(4) всегда находится в интервале [1/2;1], то VAR в (5) всегда находится в интервале [-V(t);0].

Практика.

В качестве иллюстрации всего вышеперечисленного была построена функция плотности распределения суточной модифицированной относительной доходности Y (T = 1 сутки) для обыкновенных акций РАО «ЕЭС России» по ценам открытия и закрытия на ММВБ за период времени с 22.08.1997 по 31.08.2004. График плотности распределения представлен на рисунке ниже. Величина Y вычислялась по формуле 2 отдельно для цен открытия и цен закрытия каждого торгового дня (t) и следующего торгового дня (t+1) из указанного выше диапазона. На этом же рисунке дана кривая показательного распределения с параметром l=0,32, как нетрудно заметить, совпадение графиков имеет совершенно явный не случайный характер.

Но не смотря на столь очевидное совпадение факта и теории, делать абсолютные выводы по одному примеру нельзя. Несомненно одно – применять в этом конкретном случае «дельта-нормальный» метод совершенно некорректно. Так же как и не вызывает сомнения то, что необходимо и дальше проводить подобные исследования на других активах и временных горизонтах для того, чтобы открывать все новые горизонты финансовой науки и риск-менеджмента.